范德蒙德公式，又称多项式展开定理，是组合数学中的一个重要公式，主要用于展开二项式的幂次。其公式如下：
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
其中，\( \binom{n}{k} \) 表示从 \( n \) 个不同元素中取出 \( k \) 个元素的组合数，也就是 \( n \) 取 \( k \) 的组合数。
具体解释如下：
1. 二项式系数：公式中的 \( \binom{n}{k} \) 是二项式系数，它表示从 \( n \) 个不同元素中取出 \( k \) 个元素的组合数。计算公式为 \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)，其中 \( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘。
2. 幂次展开：公式右边的求和式表示将 \( a \) 和 \( b \) 的幂次按照组合数 \( \binom{n}{k} \) 的系数进行展开。
3. 系数规律：从 \( a \) 的幂次来看，随着 \( k \) 的增加，\( a \) 的幂次逐渐减小，\( b \) 的幂次逐渐增大。反之，从 \( b \) 的幂次来看，随着 \( k \) 的增加，\( b \) 的幂次逐渐减小，\( a \) 的幂次逐渐增大。
4. 应用场景：范德蒙德公式在多项式展开、组合计数、概率论等领域有着广泛的应用。
总之，范德蒙德公式是一个非常有用的数学工具，它将二项式的幂次展开与组合计数巧妙地结合在一起。
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