函数一致有界的证明

函数一致有界的证明通常涉及以下步骤：

1. 定义一致有界性：首先，我们需要明确一致有界的定义。一个函数在某个集合上如果是一致有界的，那么存在一个正常数M，使得对于该集合上的任意两点x和y，都有|f(x) - f(y)| ≤ M。

2. 选择合适的区间：为了证明函数在某个区间上一致有界，我们通常需要选择一个包含该集合的闭区间。

3. 证明连续性：根据一致有界的性质，我们需要证明函数在所选区间上连续。因为连续函数在闭区间上必定有界。

4. 应用介值定理：利用介值定理，我们可以证明函数在闭区间上取得最大值和最小值。

5. 得出结论：根据上述步骤，我们可以得出函数在所选区间上一致有界的结论。

具体证明过程如下：

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，我们需要证明f(x)在[a, b]上是一致有界的。

- 步骤1：由于f(x)在[a, b]上连续，根据连续函数的性质，f(x)在[a, b]上有界，即存在正常数M1，使得|f(x)| ≤ M1，对于所有x ∈ [a, b]。

- 步骤2：考虑任意两点x, y ∈ [a, b]，由于f(x)在[a, b]上连续，根据连续函数的性质，f(x)在[a, b]上也是一致连续的。因此，存在δ > 0，使得对于任意x, y ∈ [a, b]，当|x - y| < δ时，有|f(x) - f(y)| < 1。

- 步骤3：取M = max{M1, 1}，则对于任意x, y ∈ [a, b]，有|f(x) - f(y)| ≤ M。

因此，函数f(x)在闭区间[a, b]上是一致有界的。

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