函数极限不存在的经典例子之一是函数 \( f(x) = \begin{cases}
1, & \text{如果 } x \text{ 是有理数} \\
0, & \text{如果 } x \text{ 是无理数}
\end{cases} \)。当 \( x \) 趋近于某一值 \( a \) 时，如果 \( a \) 是有理数，那么 \( f(x) \) 的极限是 1；如果 \( a \) 是无理数，那么 \( f(x) \) 的极限是 0。由于 \( x \) 趋近于 \( a \) 时，从有理数和无理数两侧的极限值不同，因此这个函数在 \( x \) 趋近于 \( a \) 时的极限不存在。
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