考研数学必备：等价无穷小的常见考点与速记技巧

常见问题解答

问题1：当x→0时，tanx与sinx是否等价？

在考研数学中，等价无穷小是高频考点，考生经常混淆不同函数的等价关系。实际上，当x→0时，tanx与sinx确实是等价的。这是因为根据泰勒展开，tanx和sinx在x=0的邻域内都可以近似表示为x，即tanx≈x，sinx≈x。这种等价关系可以用极限证明：lim(x→0)tanx/x = lim(x→0)sinx/x = 1。值得注意的是，虽然tanx和sinx在x→0时等价，但它们的导数并不等价，例如tanx的导数是sec2x，而sinx的导数是cosx。这个细节在隐函数求导等问题中可能产生重要影响。

问题2：x→0时，1-cosx与x2的等价关系如何推导？

1-cosx与x2的等价关系是考研中的常考点，尤其在求解极限和积分时非常实用。这个关系可以通过泰勒展开推导：cosx在x=0的泰勒展开为1-?x2+O(x?)，因此1-cosx≈?x2。更严格的证明可以通过二倍角公式：1-cosx=2sin2(?x)，当x→0时，sin(?x)≈?x，所以1-cosx≈?(?x)2=?x2。但通常我们简化为1-cosx≈?x2，因为更高阶的小量在极限计算中可以忽略。这个等价关系在洛必达法则和泰勒展开的计算中特别有用，例如计算lim(x→0)(1-cosx)/x2=?。

问题3：ex与1+x的等价关系在什么情况下不适用？

虽然ex在x→0时与1+x等价，但这种等价关系并非在所有情况下都成立。当x的绝对值较大时，两者差异明显。例如，当x=1时，e1≈2.718，而1+1=2，相对误差超过35%。因此，这种等价关系仅适用于x→0的极限过程。在考研中，需要注意这种适用范围的限制，特别是在处理高阶无穷小或变量替换时。更精确的表述是：ex-1与x在x→0时等价，而ex本身与1+x并不等价。这个细节在处理复合函数的极限时尤其重要，例如计算lim(x→0)(ex-1)/x=1，但若写成lim(x→0)(ex)/(1+x)，则极限可能不存在或需要重新处理。

内容创作小贴士

在撰写这类数学类文章时，可以采用"概念解释+具体例子+反例说明"的三段式结构，这样既能帮助读者理解抽象概念，又能通过实例加深记忆。在解释等价无穷小时，建议配合泰勒展开的推导过程，这样既能展示数学严谨性，又能帮助读者掌握方法。对于反例说明，可以设计一些常见的错误应用场景，比如误用等价无穷小替换求导中的中间变量，这样能更好地警示读者注意适用条件。在排版上可以适当增加空白和分隔线，避免大段文字造成阅读疲劳，特别是在公式推导部分，采用分步展示的方式能让读者更容易跟上思路。