在考研数学中，无穷小的运算是一个常见的考点。以下是一道关于无穷小运算的真题示例：
题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) 和 \( g(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( \lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) \)。
解答：
首先，对函数 \( f(x) \) 进行化简：
\[ f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]
接着，分析 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在 \( x \to 0 \) 时的行为：
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x - 1)^2 = 1 \]
\[ \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \]
由于 \( \lim_{x \to 0} g(x) = \infty \)，这是一个无穷小乘以无穷大的情况，需要特别处理。我们可以将 \( g(x) \) 表示为 \( \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x}{x^2} \)，这样 \( \frac{x}{x^2} \) 在 \( x \to 0 \) 时为无穷小。
现在，原极限可以重写为：
\[ \lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to 0} (x - 1)^2 \cdot \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} (x - 1)^2 \cdot \frac{1}{x} \]
由于 \( \lim_{x \to 0} (x - 1)^2 = 1 \) 和 \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \)，我们得到：
\[ \lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = 1 \cdot \infty = \infty \]
因此，该题的答案是 \( \infty \)。
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