在矩阵理论中，二重特征根与秩的关系主要表现为：如果一个矩阵具有二重特征根，那么该矩阵的秩将不会超过其特征根的重数。具体来说，若矩阵A有一个二重特征根λ，则存在一个非零向量v，使得\(Av = λv\)，且对于所有非零向量u，若\(Au = λu\)，则\(u\)与v线性相关。在这种情况下，矩阵A的秩至少为n-2（其中n是矩阵A的维度），因为除了这两个线性无关的特征向量外，其他所有特征向量都对应于不同的特征值，从而保持矩阵的秩。
然而，如果矩阵A是满秩的，即秩为n，那么它的所有特征值都不可能重复，因此不存在二重特征根。反之，如果一个矩阵有二重特征根，并且矩阵的秩为n，则该矩阵必定不是满秩的。
总结来说，二重特征根的存在与矩阵秩的关系是：如果矩阵有二重特征根，则其秩至少为n-2；如果矩阵满秩，则不存在二重特征根。
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