多项式的商空间，即环\( R[x] \)中除以某个非零多项式\( f(x) \)的商环\( R[x]/(f(x)) \)的基与维数，可以通过以下步骤确定：
1. 基的确定：商空间\( R[x]/(f(x)) \)的基是由\( R[x] \)中与\( f(x) \)线性无关的元素构成的集合。具体来说，\( R[x] \)中的每一个元素都可以表示为\( a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \)，其中\( a_i \in R \)。在商空间中，这些元素对应于\( R[x] \)中的元素与\( f(x) \)的余数相等。因此，基可以表示为\( \{1, x, x^2, \ldots, x^{\deg(f(x)-1)} \} \)，其中\( \deg(f(x)) \)是\( f(x) \)的次数。
2. 维数的确定：商空间\( R[x]/(f(x)) \)的维数等于其基的元素个数。由于基由\( \{1, x, x^2, \ldots, x^{\deg(f(x)-1)} \} \)构成，因此其维数为\( \deg(f(x)) \)。
综上所述，多项式\( f(x) \)的商空间\( R[x]/(f(x)) \)的基为\( \{1, x, x^2, \ldots, x^{\deg(f(x)-1)} \} \)，维数为\( \deg(f(x)) \)。
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