2016年考研数学二高频考点深度解析与攻克策略

2016年的考研数学二考试中，不少考生在备考过程中遇到了一些共性问题，尤其是在高等数学、线性代数和概率统计部分。为了帮助考生更好地理解和掌握这些难点，本文将结合当年真题，对几个典型问题进行深入剖析，并提供实用的解题技巧。文章内容力求贴近考生的实际需求，通过案例分析、思路点拨和技巧总结，帮助考生突破学习瓶颈，提升应试能力。

问题一：2016年数二高数部分曲线积分计算难点解析

在2016年考研数学二的试卷中，曲线积分问题成为了不少考生的“拦路虎”。很多同学在计算第二类曲线积分时，容易混淆直接计算法与格林公式的适用条件，导致解题思路卡壳。下面我们就通过一道典型例题，详细解析这类问题的解题思路和注意事项。

【例题】计算曲线积分∮_C (x2ydx + xy2dy)，其中C为圆周x2 + y2 = 1沿逆时针方向。

【解题步骤】

我们需要判断曲线积分是否满足格林公式的适用条件。由于C为封闭曲线，且P(x2y)和Q(xy2)在C所围成的区域内连续可偏导，因此可以直接应用格林公式。

根据格林公式，原积分可以转化为∮_C (x2ydx + xy2dy) = ?_D (?Q/?x ?P/?y) dA，其中D为圆盘x2 + y2 ≤ 1。

计算偏导数：?Q/?x = y2，?P/?y = x2，因此被积函数为y2 x2。

采用极坐标计算二重积分：x = rcosθ，y = rsinθ，dA = rdrdθ，积分区域为0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π。

原积分 = ∫₀^2π ∫₀¹ (r2sin2θ r2cos2θ) r dr dθ = ∫₀^2π ∫₀¹ r3(sin2θ cos2θ) dr dθ。

计算内积分：∫₀¹ r3 dr = 1/4，因此原积分 = 1/4 ∫₀^2π (sin2θ cos2θ) dθ。

利用三角恒等式sin2θ cos2θ = -cos2θ，原积分 = -1/4 ∫₀^2π cos2θ dθ = -1/4 [sin2θ/2]₀^2π = 0。

【技巧总结】

在解决这类问题时，考生需要注意以下几点：要熟练掌握格林公式的适用条件；在计算二重积分时，选择合适的坐标系（直角坐标或极坐标）能大大简化计算过程；对于三角函数的积分，要灵活运用三角恒等式进行化简。通过以上步骤，我们可以看到，虽然曲线积分问题看似复杂，但只要掌握正确的解题方法，就能迎刃而解。

问题二：2016年数二线性代数部分特征值与特征向量计算技巧

线性代数中的特征值与特征向量问题是考研数学二的常考点，也是很多考生的难点所在。2016年的试卷中，这类问题主要考察考生对基本概念的理解和计算能力的掌握。下面我们通过一道例题，分析这类问题的解题思路和注意事项。

【例题】设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的特征值和特征向量。

【解题步骤】

计算特征多项式det(λI A)，其中I为2阶单位矩阵。

det(λI A) = det[λ-1 -2; -3 λ-4] = (λ-1)(λ-4) (-6) = λ2 5λ + 10。

解特征方程λ2 5λ + 10 = 0，得到特征值λ? = 5 + √5，λ? = 5 √5。

对于特征值λ? = 5 + √5，解方程组(λ?I A)x = 0，即[4-√5 -2; -3 1-√5] [x?; x?] = [0; 0]。

通过初等行变换，可以得到特征向量x = [1; (4-√5)/3]。

同理，对于特征值λ? = 5 √5，解方程组(λ?I A)x = 0，即[4+√5 -2; -3 1+√5] [x?; x?] = [0; 0]。

通过初等行变换，可以得到特征向量x = [1; (4+√5)/3]。

【技巧总结】

在解决特征值与特征向量问题时，考生需要注意以下几点：要熟练掌握特征多项式的计算方法；在解方程组时，要灵活运用初等行变换简化计算；要注意特征向量的线性无关性。通过以上步骤，我们可以看到，虽然特征值与特征向量问题看似复杂，但只要掌握正确的解题方法，就能迎刃而解。

问题三：2016年数二概率统计部分大数定律应用技巧

概率统计中的大数定律是考研数学二的常考点，也是很多考生的难点所在。2016年的试卷中，这类问题主要考察考生对大数定律的理解和应用能力。下面我们通过一道例题，分析这类问题的解题思路和注意事项。

【例题】设随机变量X?, X?, ..., Xn是独立同分布的，且E(Xi) = μ, Var(Xi) = σ2，证明当n→∞时，样本均值X? = (X?+X?+...+Xn)/n依概率收敛于μ。

【解题步骤】

根据大数定律的定义，我们需要证明对于任意的ε > 0，有P(X? μ ≥ ε) → 0（当n→∞时）。

由于X?, X?, ..., Xn是独立同分布的，根据切比雪夫不等式，有P(X? μ ≥ ε) ≤ Var(X?)/ε2。

计算样本均值X?的方差：Var(X?) = Var((X?+X?+...+Xn)/n) = (1/n2)Var(X?+X?+...+Xn)。

由于X?, X?, ..., Xn是独立的，Var(X?+X?+...+Xn) = Var(X?) + Var(X?) + ... + Var(Xn) = nσ2。

因此，Var(X?) = (1/n2) nσ2 = σ2/n。

代入切比雪夫不等式，得到P(X? μ ≥ ε) ≤ σ2/(nε2)。

当n→∞时，σ2/(nε2) → 0，因此P(X? μ ≥ ε) → 0。

【技巧总结】

在解决大数定律问题时，考生需要注意以下几点：要熟练掌握切比雪夫不等式的应用；要理解样本均值的方差计算方法；要灵活运用大数定律的证明思路。通过以上步骤，我们可以看到，虽然大数定律问题看似复杂，但只要掌握正确的解题方法，就能迎刃而解。