2012年考研数学三真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(0)=\text{（ ）}$
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答案：C
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=0$得$f'(0)=0$。
2. 设$a>0$，则$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^a}=\text{（ ）}$
A. 0
B. $\frac{1}{a}$
C. $\infty$
D. 无极限
答案：A
解析：当$x\to\infty$时，$\ln x$的增长速度远小于$x^a$，故$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}=\text{（ ）}$
A.$\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$
B.$\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\end{bmatrix}$
C.$\begin{bmatrix}1&-2\\3&4\end{bmatrix}$
D.$\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}$
答案：A
解析：根据矩阵求逆公式，$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$，其中$\det A=ad-bc=1\times4-2\times3=-2$，代入得$A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$。
二、填空题
1. 设$f(x)=x^2+2x+1$，则$f'(x)=\text{（ ）}$
答案：$2x+2$
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=2x+2$。
2. 设$a>0$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}=\text{（ ）}$
答案：$a$
解析：根据洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{a\cos ax}{1}=a$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^2=\text{（ ）}$
答案：$\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$
解析：$A^2=A\cdot A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 设$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求$f'(x)$。
答案：$f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-1)-(x^2-1)(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-(x^2-1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$。
2. 设$a>0$，求$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^a}$。
答案：$0$
解析：当$x\to\infty$时，$\ln x$的增长速度远小于$x^a$，故$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案：$A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$
解析：根据矩阵求逆公式，$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$，其中$\det A=ad-bc=1\times4-2\times3=-2$，代入得$A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}$。
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