在考研数学中，三重积分是重点和难点之一。以下是一道典型的三重积分真题解析：
题目：已知函数$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$，求由$x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$所围成的球体的体积。
解析：本题考查的是三重积分的应用。首先，我们需要确定积分的范围，即球体的体积。由于球体的对称性，我们可以选择在球坐标系下进行积分。
设球坐标为$(\rho, \theta, \phi)$，其中$\rho$为球体到原点的距离，$\theta$为极角，$\phi$为方位角。根据球坐标系的转换关系，我们有：
$$x = \rho \sin \phi \cos \theta$$
$$y = \rho \sin \phi \sin \theta$$
$$z = \rho \cos \phi$$
当$x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$时，对应的球坐标范围为：
$$0 \leq \rho \leq 1$$
$$0 \leq \theta \leq 2\pi$$
$$0 \leq \phi \leq \pi$$
因此，原问题可以转化为以下三重积分：
$$V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$$
计算上述积分，可得：
$$V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \left(\frac{\rho^3}{3}\right) \bigg|_{0}^{1} \sin \phi \, d\phi \, d\theta$$
$$V = \frac{2\pi}{3} \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi$$
$$V = \frac{2\pi}{3} \left(-\cos \phi \right) \bigg|_{0}^{\pi}$$
$$V = \frac{2\pi}{3} \times 2$$
$$V = \frac{4\pi}{3}$$
因此，所求球体的体积为$\frac{4\pi}{3}$。
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