在考研数学三的考试中，重积分大题通常考察学生对空间几何图形的理解和积分技巧的运用。以下是一例原创的重积分大题：
题目：已知空间直角坐标系中，由曲面 $z = x^2 + y^2$ 和平面 $z = 4$ 所围成的封闭立体，求该立体的体积。
解题步骤：
1. 确定积分区域：首先，我们需要确定积分区域 $D$，即 $x^2 + y^2 \leq 4 - z$ 且 $z \leq 4$。
2. 建立积分表达式：根据积分区域的定义，我们可以将体积 $V$ 表示为三重积分 $\iiint_V dzdydx$。
3. 确定积分顺序：考虑到 $z$ 的范围是从 $0$ 到 $4$，$y$ 的范围是从 $-\sqrt{4-z}$ 到 $\sqrt{4-z}$，$x$ 的范围是从 $-\sqrt{4-z}$ 到 $\sqrt{4-z}$，我们可以选择先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分，最后对 $z$ 积分。
4. 计算积分：根据积分表达式和积分顺序，我们有：
\[
V = \int_0^4 \int_{-\sqrt{4-z}}^{\sqrt{4-z}} \int_{-\sqrt{4-z}}^{\sqrt{4-z}} dx \, dy \, dz
\]
计算上述积分，得到 $V = \frac{32}{3}$。
【考研刷题通】——你的考研刷题好帮手！政治、英语、数学等全部考研科目题库，随时随地刷题，助你高效备考，轻松上研！立即下载，开启你的考研刷题之旅！