在探寻2011年考研数学试题及答案的征途上，无数考生为之奋斗。那一年，数学试题以严谨的命题风格和丰富的题型，全面考察了考生的数学素养。以下是2011年考研数学试题及答案的精选解析：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)$的零点为（ ）
A. $x=1$ B. $x=-1$ C. $x=2$ D. $x=-2$
答案：A
2. 设$A$为三阶方阵，且$A^2=0$，则$A$的秩为（ ）
A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $0$
答案：A
二、填空题（每题5分，共10分）
3. 设$a$，$b$，$c$是实数，且$a^2+b^2+c^2=1$，则$\sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq 1$的充分必要条件是（ ）
A. $abc\geq 0$ B. $abc\leq 0$ C. $a^2b^2c^2\geq 0$ D. $a^2b^2c^2\leq 0$
答案：C
4. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(x)$在$x=1$处的值为（ ）
A. $1$ B. $0$ C. $-1$ D. 不存在
答案：B
三、解答题（共80分）
5. （20分）证明：若$a$，$b$，$c$是实数，且$a^2+b^2+c^2=1$，则$(a+b+c)^2\leq 3$。
6. （20分）求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^2}$。
7. （20分）设$f(x)=x^3-3x+2$，求$f'(x)$的零点及对应的函数值。
8. （20分）设$A$为三阶方阵，且$A^2=0$，求$A$的秩。
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