2014年考研数学三第10题：设函数$f(x)=\frac{1}{x}\ln x$，其中$x>0$。求$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的最大值和最小值。
解答：首先求出$f(x)$的导数：
$$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\ln x\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln x\cdot x^{-1}\right)=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}-\ln x\cdot x^{-2}=\frac{1-x}{x^2}$$
令$f'(x)=0$，解得$x=1$。
当$x\in(0,1)$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；当$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。
因此，$x=1$是$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的极大值点，也是最大值点。此时$f(1)=\frac{1}{1}\ln 1=0$。
又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上连续，且当$x\rightarrow 0^+$时，$f(x)\rightarrow -\infty$；当$x\rightarrow +\infty$时，$f(x)\rightarrow 0$，所以$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上无最小值。
综上，$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的最大值为0，无最小值。
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