考研数学中的收敛问题主要涉及级数和序列的收敛性。以下是对几个关键点的详细解析：
1. 级数收敛的必要条件：级数收敛的必要条件是其通项的极限必须为零。即，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
2. 比值判别法：对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，若 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$，则：
- 当 $L < 1$ 时，级数收敛；
- 当 $L > 1$ 时，级数发散；
- 当 $L = 1$ 时，比值判别法失效，需要用其他方法判断。
3. 根值判别法：对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，若 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$，则：
- 当 $L < 1$ 时，级数收敛；
- 当 $L > 1$ 时，级数发散；
- 当 $L = 1$ 时，根值判别法失效，需要用其他方法判断。
4. 交错级数收敛的莱布尼茨判别法：若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足以下两个条件：
- $a_n > 0$；
- $a_{n+1} \leq a_n$；
则级数收敛。
5. 绝对收敛与条件收敛：一个级数如果收敛，那么它要么绝对收敛，要么条件收敛。绝对收敛意味着级数的各项取绝对值后也收敛；条件收敛则意味着级数本身收敛，但其各项取绝对值后发散。
掌握以上要点，结合具体的题目进行练习，对于考研数学中的收敛问题会有更深入的理解。为了帮助考生更好地备考，推荐使用【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助力考生高效刷题，备战考研。
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