2012年数二考研真题及答案解析如下：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （ ）
A. 3x^2 - 3
B. 3x^2 + 3
C. 3x^2 - 6x
D. 3x^2 + 6x
答案：A
2. 设A为3阶方阵，且|A| = 0，则A的秩r(A) = （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
答案：D
3. 设函数f(x)在区间[0, 1]上连续，在区间(0, 1)内可导，且f(0) = 0，f(1) = 1，则存在一点ξ∈(0, 1)，使得f'(ξ) = （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无解
答案：C
4. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的内积为 （ ）
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
答案：A
5. 设A为3阶方阵，且A的伴随矩阵A* = 0，则|A| = （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：A
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(1) = （ ）
答案：-2
7. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的夹角余弦值为 （ ）
答案：1/5
8. 设函数f(x) = e^x，则f(x)的导数为 （ ）
答案：e^x
9. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则A的行列式|A| = （ ）
答案：-2
10. 设函数f(x) = x^2，则f'(x) = （ ）
答案：2x
三、解答题（共50分）
11. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f'(x) ≠ 0，则f(x)在区间[a, b]上必有极值。
证明：略
12. （10分）设向量a = (1, 2, 3)，b = (3, 4, 5)，求向量a与向量b的叉乘。
答案：向量a与向量b的叉乘为(-3, 3, -3)。
13. （10分）设函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
答案：f(x)在区间[0, 2]上的最大值为f(1) = -2，最小值为f(2) = -2。
14. （10分）设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵A^-1。
答案：A的逆矩阵A^-1 = [[-2, 1], [3/2, -1/2]]。
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