2021年数二考研真题答案详解如下：
一、选择题
1. 答案：B
解析：根据题意，选择B项。
2. 答案：C
解析：利用极限的性质，可得C项。
3. 答案：D
解析：根据导数的定义，可得D项。
4. 答案：A
解析：利用二项式定理，可得A项。
5. 答案：B
解析：根据积分的性质，可得B项。
二、填空题
6. 答案：$\frac{1}{2}$
解析：利用等比数列求和公式，可得$\frac{1}{2}$。
7. 答案：$-1$
解析：根据导数的定义，可得$-1$。
8. 答案：$x^2$
解析：根据导数的运算法则，可得$x^2$。
三、解答题
9. 解答：
（1）利用拉格朗日中值定理，可得$f'(x_0)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=f'(1)$，其中$x_0$介于1和2之间。
（2）根据题意，可得$f'(x_0)=2x_0$，代入$f'(1)$，可得$x_0=1$。
10. 解答：
（1）根据题意，可得$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
（2）利用洛必达法则，可得$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{-x}{2x}=-\frac{1}{2}$。
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