解析：本题考查了定积分的应用。首先，对被积函数进行换元积分，令 $x = \sqrt{t}$，则 $dx = \frac{1}{2\sqrt{t}}dt$。积分区间也相应地变为 $t = 1$ 到 $t = 2$。代入换元后的积分式中，得到：
$$
\int_1^2 \sqrt{x^4 - x^6} dx = \int_1^2 \sqrt{t^2 - t^3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int_1^2 \sqrt{1 - t} dt
$$
接着，对 $\sqrt{1 - t}$ 进行积分，得到：
$$
\frac{1}{2} \int_1^2 \sqrt{1 - t} dt = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2}{3}(1 - t)^{3/2} \right]_1^2 = \frac{1}{3}(1 - 2\sqrt{2})
$$
因此，本题的答案为 $\frac{1}{3}(1 - 2\sqrt{2})$。
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