全微分方程在考研数学中的应用广泛，以下是一例真题解析：
题目：已知函数 \( y = y(x) \) 满足微分方程 \( y' + y^2 = x \)，求 \( y \) 的表达式。
解题步骤：
1. 识别微分方程类型：此题为一阶微分方程，且为全微分方程。
2. 求微分：将原方程两边对 \( x \) 求导，得 \( y'' + 2yy' = 1 \)。
3. 分离变量：将 \( y'' \) 和 \( y' \) 分离，得 \( \frac{y''}{1 - 2y^2} = \frac{1}{y'} \)。
4. 积分：对两边积分，得 \( \int \frac{y''}{1 - 2y^2} dx = \int \frac{1}{y'} dy' \)。
5. 化简：对积分式进行化简，得 \( -\frac{1}{2} \ln |1 - 2y^2| = \ln |y'| + C_1 \)。
6. 解方程：将 \( y' \) 替换为 \( \frac{dy}{dx} \)，得 \( -\frac{1}{2} \ln |1 - 2y^2| = \ln \left| \frac{dy}{dx} \right| + C_1 \)。
7. 求解 \( y \) 的表达式：将上式两边同时取指数，得 \( \frac{1}{1 - 2y^2} = \frac{C}{y'} \)。
8. 代入原方程：将 \( y' \) 代入原方程 \( y' + y^2 = x \)，得 \( \frac{C}{y'} + y^2 = x \)。
9. 求解 \( C \)：整理得 \( C = y'(x + y^2) \)。
10. 代入 \( C \) 的表达式：将 \( C \) 的表达式代入 \( \frac{1}{1 - 2y^2} = \frac{C}{y'} \)，得 \( \frac{1}{1 - 2y^2} = \frac{y'(x + y^2)}{y'} \)。
11. 化简：化简得 \( 1 - 2y^2 = x + y^2 \)。
12. 求解 \( y \)：整理得 \( 3y^2 = 1 - x \)，即 \( y = \pm \sqrt{\frac{1 - x}{3}} \)。
综上，\( y \) 的表达式为 \( y = \pm \sqrt{\frac{1 - x}{3}} \)。
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