在解决数学考研常微分方程问题时，以下是一个典型的例题：
例题：
求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = e^{2x} \)。
解题过程：
1. 首先，写出对应的齐次方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)。
2. 解齐次方程的特征方程 \( r^2 - 3r + 2 = 0 \)，得到特征根 \( r_1 = 1 \) 和 \( r_2 = 2 \)。
3. 因此，齐次方程的通解为 \( y_h = C_1e^x + C_2e^{2x} \)。
4. 接下来，寻找非齐次方程的一个特解。由于非齐次项为 \( e^{2x} \)，我们尝试设特解为 \( y_p = A e^{2x} \)。
5. 将 \( y_p \) 代入原微分方程，得到 \( 4A e^{2x} - 6A e^{2x} + 2A e^{2x} = e^{2x} \)。
6. 解得 \( A = \frac{1}{2} \)。
7. 因此，特解为 \( y_p = \frac{1}{2}e^{2x} \)。
8. 综合齐次解和特解，原微分方程的通解为 \( y = C_1e^x + C_2e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x} \)。
通过这个例题，考生可以加深对常微分方程求解方法的理解和掌握。考研备考中，大量的刷题是提高解题能力的关键。推荐使用微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，备战考研！
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