2027年考研数学真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：A
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，代入$x=1$得$f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1$。
2. 设$a$，$b$，$c$为实数，且$a+b+c=0$，则$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$的值最小为（ ）
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{3}$
D. 2
答案：C
解析：由柯西不等式得$(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2) \geq (a+b+c)^2$，即$a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = 0$，所以$\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq 0$，等号成立当且仅当$a=b=c=0$。
二、填空题
3. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f'(x)$的值为______。
答案：$-\frac{1}{x^2}$
解析：$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$。
4. 设$a$，$b$，$c$为实数，且$a+b+c=0$，则$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$的值最小为______。
答案：$\sqrt{3}$
解析：由柯西不等式得$(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2) \geq (a+b+c)^2$，即$a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = 0$，所以$\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq 0$，等号成立当且仅当$a=b=c=0$。
三、解答题
5. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
答案：极大值$f(1) = 1$，极小值$f(2) = 1$。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$得$x=1$或$x=2$。当$x<1$时，$f'(x)>0$；当$1
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