在考研数学中，微积分进阶公式是考生必须熟练掌握的内容。以下是一些常见的微积分进阶公式：
1. 多元函数的偏导数公式：
- 如果函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 可微，那么偏导数存在，且满足：
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} \]
2. 高阶偏导数公式：
- 若 \( f \) 在 \( D \) 内连续，且 \( f \) 对 \( x \) 的偏导数存在，则 \( f \) 对 \( y \) 的偏导数也连续，且：
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right) \]
3. 多元函数的全微分公式：
- 若 \( z = f(x, y) \) 是一个可微函数，那么 \( z \) 的全微分 \( dz \) 为：
\[ dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \]
4. 柯西中值定理：
- 若函数 \( f(x, y) \) 在闭区域 \( D \) 上连续，在开区域 \( D^* \) 内可微，且 \( P_0 \) 和 \( P_1 \) 是 \( D \) 上的任意两点，那么存在 \( \xi \) 在 \( P_0 \) 和 \( P_1 \) 之间，使得：
\[ \frac{f(x_1, y_1) - f(x_0, y_0)}{x_1 - x_0} = f_x'(\xi, \eta) \]
\[ \frac{f(x_1, y_1) - f(x_0, y_0)}{y_1 - y_0} = f_y'(\xi, \eta) \]
掌握这些公式对于考研数学来说至关重要。备考过程中，多做题、多总结，相信你会在考试中取得理想的成绩。祝你考研顺利！
【考研刷题通】——你的考研刷题神器！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题，助你轻松备考，高效刷题！立即下载，开启你的考研刷题之旅！