在考研数学的多元函数进阶题中，我们常常会遇到这样的第一题：设函数 \( f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2 + 1} \)，其中 \( (x, y) \neq (0, 0) \)，求 \( f(x, y) \) 在点 \( (0, 0) \) 处的极限是否存在。
解答过程如下：
首先，考虑沿不同路径接近点 \( (0, 0) \) 时的极限。例如，沿直线 \( y = kx \) 趋近于 \( (0, 0) \)，则：
\[ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2 + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{x^2(1 + k^2) + 1} = \frac{k}{1 + k^2} \]
由于 \( k \) 可以取任意实数，所以沿不同路径得到的极限值不同，这表明 \( f(x, y) \) 在点 \( (0, 0) \) 处的极限不存在。
通过以上分析，我们得出结论：函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (0, 0) \) 处的极限不存在。
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