在2012年数二考研中，考生们面临了多道充满挑战的数学题目。以下是对部分真题的详细答案解析：
1. 一元二次方程的根与系数关系问题：
- 题目：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$，若 $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$，$\alpha \beta = \frac{c}{a}$，求证：$b^2 - 4ac \geq 0$。
- 解析：由韦达定理知，$b^2 - 4ac = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} \geq 0$。
2. 线性方程组的求解问题：
- 题目：已知线性方程组 $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$，求 $x$ 和 $y$ 的值。
- 解析：将方程组写成增广矩阵形式，通过初等行变换，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -7 & -7 \end{pmatrix}$。然后，将第二行乘以 $-\frac{1}{7}$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。接着，将第二行加到第一行，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。最后，将第一行乘以 $\frac{1}{3}$，得到 $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。因此，$x = \frac{4}{3}$，$y = 1$。
3. 函数的极限与连续性问题：
- 题目：已知函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ \ln(x), & x < 0 \end{cases}$，求 $\lim_{x \to 0} f(x)$。
- 解析：因为 $f(x)$ 在 $x < 0$ 和 $x \geq 0$ 时分别定义，所以需要分别计算左极限和右极限。左极限为 $\lim_{x \to 0^-} \ln(x)$，由于 $\ln(x)$ 在 $x < 0$ 时无定义，所以左极限不存在。右极限为 $\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$。因此，$\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。
通过以上解析，相信考生们对2012数二考研真题的解题思路有了更深的理解。要想在考研中取得好成绩，不仅要掌握知识点，还要多做题，多总结。推荐一款考研刷题小程序：【考研刷题通】，包括政治刷题，英语刷题，数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松拿高分！【考研刷题通】