2024年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 设函数$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$。
2. 下列函数中，可导的函数是：
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = x^2$ C. $f(x) = e^x$ D. $f(x) = \sqrt{x}$
答案：A、C、D
二、填空题（每题5分，共10分）
1. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$。
2. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$。
答案：1. 0；2. $-\frac{1}{x^2}$
三、解答题（共80分）
1. （20分）求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
解：首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，得$x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3}$。
当$x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}$时，$f''(x) = 6x - 6 > 0$，所以$f(x)$在$x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}$处取得极小值。
当$x = \frac{2 + \sqrt{2}}{3}$时，$f''(x) = 6x - 6 < 0$，所以$f(x)$在$x = \frac{2 + \sqrt{2}}{3}$处取得极大值。
2. （20分）设$f(x) = \ln x$，求$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$。
解：$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x - \ln 1}{x - 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x - 1} = -1$。
3. （20分）设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f(x)$的拐点。
解：求二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，令$f''(x) = 0$，得$x = 1$。
当$x < 1$时，$f''(x) < 0$，所以$f(x)$在$x = 1$处取得拐点。
拐点坐标为$(1, f(1)) = (1, 1)$。
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