在考研数学一中，数列题目往往涉及极限、收敛性、通项公式求解等多个方面。以下是一道典型的数列题目：
题目：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且对于任意$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})$。求证：$\{a_n\}$是单调递增的。
解题过程：
证明：假设存在某个正整数$k$，使得$a_k>a_{k+1}$，则$a_k^2>a_{k+1}a_k$，即$a_k^2-a_{k+1}a_k>0$。
由于$a_k>0$，可得$a_k-a_{k+1}>0$，即$a_k>a_{k+1}$。
接下来，我们证明$a_{k+1}>a_{k+2}$。
由题意知$a_{k+2}=\frac{1}{2}(a_{k+1}+\frac{1}{a_{k+1}})$，同理可得$a_{k+1}^2>a_{k+2}a_{k+1}$。
由于$a_{k+1}>0$，可得$a_{k+1}-a_{k+2}>0$，即$a_{k+1}>a_{k+2}$。
根据数学归纳法，我们得到对于任意$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_n>a_{n+1}$。
因此，数列$\{a_n\}$是单调递增的。
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