2020年考研数学三的高数真题考察了较为全面的数学知识，涵盖了函数极限、导数、不定积分、定积分、多元函数微分学、级数、常微分方程等内容。以下是部分真题回顾：
1. 函数极限
（1）求函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x}{x - 1} \) 当 \( x \to 1 \) 时的极限。
（2）已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 3x}{x^3} = 0 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的值。
2. 导数
（1）设函数 \( f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c \)，求 \( f'(x) \)。
（2）已知函数 \( f(x) \) 在区间 \( [0, +\infty) \) 上可导，且 \( f'(x) \geq 0 \)，证明 \( f(x) \) 在 \( [0, +\infty) \) 上单调递增。
3. 不定积分
求不定积分 \( \int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} \, dx \)。
4. 定积分
（1）设函数 \( f(x) \) 在区间 \( [0, 1] \) 上连续，且 \( \int_0^1 f(x) \, dx = 1 \)，求 \( \int_0^1 f(x^2) \, dx \)。
（2）设 \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \)，求 \( \int_0^{\pi} f(x) \sin x \, dx \)。
5. 多元函数微分学
（1）设 \( f(x, y) = e^{x+y} \)，求 \( f_x \) 和 \( f_y \)。
（2）设 \( f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \)，求 \( f_x \) 和 \( f_y \)。
6. 级数
（1）判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 的敛散性。
（2）设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 是一个收敛级数，证明 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1 + n} \) 也收敛。
7. 常微分方程
（1）求微分方程 \( y' + y = e^x \) 的通解。
（2）求微分方程 \( y'' - 2y' + y = 2x \) 的通解。
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