在考研数学二中，多元微分学的题目往往涉及到偏导数的计算、多元函数的极值问题以及多元函数的微分中值定理等。以下是一道典型的多元微分学题目：
题目：设函数 \( f(x, y) = x^2y - y^3 + 3xy \)，求点 \( P(1, 2) \) 处沿直线 \( y = 2x \) 方向的切线斜率。
解题步骤如下：
1. 计算函数 \( f(x, y) \) 的偏导数：
\[ f_x' = 2xy + 3y \]
\[ f_y' = x^2 - 3y^2 + 3x \]
2. 在点 \( P(1, 2) \) 处，代入 \( x = 1 \) 和 \( y = 2 \) 计算偏导数的值：
\[ f_x'(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10 \]
\[ f_y'(1, 2) = 1^2 - 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 1 = 1 - 12 + 3 = -8 \]
3. 直线 \( y = 2x \) 的斜率为 2，因此，点 \( P(1, 2) \) 处沿直线 \( y = 2x \) 方向的切线斜率 \( k \) 可以通过方向导数的计算得到：
\[ k = \frac{f_x'(1, 2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \]
因此，点 \( P(1, 2) \) 处沿直线 \( y = 2x \) 方向的切线斜率为 \( 2\sqrt{5} \)。
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