1990年考研数学卷四真题答案解析如下：
一、选择题
1. 答案：D
解析：此题考查函数极限的求解，选项D符合极限存在的条件。
2. 答案：C
解析：本题考查一元二次方程的解法，通过配方法可得C为正确答案。
3. 答案：A
解析：此题考查数列的通项公式，选项A满足数列的定义。
二、填空题
1. 答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：本题考查定积分的求解，通过积分公式计算得到结果。
2. 答案：$\sqrt{2}$
解析：本题考查空间几何中点到平面的距离公式，代入数据计算得到结果。
3. 答案：$2\pi$
解析：本题考查圆的周长计算，根据圆的定义直接计算得到结果。
三、解答题
1. 答案：
（1）$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，根据介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi) = 1$。
（2）$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，根据拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (0,1)$，使得 $f'(\eta) = 2$。
解析：本题考查函数的性质，通过介值定理和拉格朗日中值定理进行证明。
2. 答案：
（1）$x = 1$ 为极值点。
（2）$x = 2$ 为拐点。
解析：本题考查函数的极值点和拐点，通过求导和二阶导数进行判断。
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