在2023年的考研数学分析考试中，考生们面临着一系列深度的理论分析和计算题。以下是部分真题及答案的摘要：
真题示例一：
题目：证明函数$f(x) = e^{-x^2}$在$x=0$处可导，并求导数。
答案：
由于$f(x)$是初等函数，可以直接求导。根据链式法则，有：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) = -2xe^{-x^2} \]
当$x=0$时，$f'(0) = 0$。
真题示例二：
题目：设$u(x, y) = x^2 + y^2$，求$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$。
答案：
首先求$\frac{\partial u}{\partial x}$：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \]
然后对$\frac{\partial u}{\partial x}$求关于$y$的偏导数：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x) = 0 \]
真题示例三：
题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$的收敛半径。
答案：
使用比值法则，有：
\[ \rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{(n+1)^3} \cdot \frac{n^3}{1} \right| = 1 \]
因此，收敛半径$R = \frac{1}{\rho} = 1$。
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