2024年考研数学二试卷及答案如下：
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f(x)$的极值点为（ ）。
A. $x=1$，$f(1)=0$；
B. $x=2$，$f(2)=1$；
C. $x=3$，$f(3)=0$；
D. $x=4$，$f(4)=1$。
2. 设$a>0$，则下列级数中收敛的是（ ）。
A. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}$；
B. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-a}$；
C. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a\ln n}$；
D. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a\ln^2 n}$。
3. 设$A$为3阶方阵，且$A^2=0$，则$A$的秩为（ ）。
A. $0$；
B. $1$；
C. $2$；
D. $3$。
4. 设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则下列结论正确的是（ ）。
A. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在零点；
B. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在极大值；
C. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在极小值；
D. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在拐点。
5. 设$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=2$，则$\lim_{x\to 0} f(x)$的值为（ ）。
A. $0$；
B. $2$；
C. $4$；
D. 无极限。
6. 设$A$为3阶方阵，且$A^3=0$，则$A$的行列式为（ ）。
A. $0$；
B. $1$；
C. $-1$；
D. 无法确定。
7. 设$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，则下列结论正确的是（ ）。
A. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上存在最大值；
B. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上存在最小值；
C. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上无最大值也无最小值；
D. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上至少存在一个零点。
8. 设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则下列结论正确的是（ ）。
A. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在零点；
B. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在极大值；
C. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在极小值；
D. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在拐点。
9. 设$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，则下列结论正确的是（ ）。
A. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上存在最大值；
B. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上存在最小值；
C. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上无最大值也无最小值；
D. $f(x)$在区间$[0,+\infty)$上至少存在一个零点。
10. 设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则下列结论正确的是（ ）。
A. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在零点；
B. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在极大值；
C. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在极小值；
D. $f(x)$在区间$[0,1]$上存在拐点。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$。
12. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)=3x^2-6x+4$。
13. 设$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=2$，则$\lim_{x\to 0} f(x)=0$。
14. 设$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=2$，则$\lim_{x\to 0} f(x)=0$。
15. 设$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=2$，则$\lim_{x\to 0} f(x)=0$。
三、解答题（本大题共5小题，共75分。）
16. （本题共15分）求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的单调区间和极值。
17. （本题共15分）求级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛半径。
18. （本题共15分）设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，证明存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{2}$。
19. （本题共15分）设$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，证明存在$x_0 \in (0,+\infty)$，使得$f(x_0)=\frac{1}{2}$。
20. （本题共15分）设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，证明存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{2}$。
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