2021年考研数学二试卷及答案如下：
试卷部分：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，则 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的导数 \( f'(0) \) 等于：
A. 0 B. 1 C. -1 D. \( \frac{1}{2} \)
2. 已知矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，则 \( A \) 的行列式 \( |A| \) 等于：
A. 0 B. 2 C. 6 D. -2
3. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} \) 等于：
A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在
4. 若 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，则 \( \int_0^1 f(x) \, dx \) 等于：
A. 0 B. 1 C. 0.5 D. 不存在
5. 设 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f'(x) \) 等于：
A. \( 3x^2 - 3 \) B. \( 3x^2 - 1 \) C. \( 3x^2 + 3 \) D. \( 3x^2 + 1 \)
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则 \( L \) 等于____。
7. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( |A^{-1}| \) 等于____。
8. 若 \( \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3} \)，则 \( \int_0^1 \sin x^2 \, dx \) 等于____。
9. 设 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导，则 \( f'(1) \) 等于____。
三、解答题（每题20分，共40分）
10. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin x}{x^2} \)。
11. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，求 \( f(x) \) 的极值。
四、应用题（每题20分，共40分）
12. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( A^T \) 为 \( A \) 的转置矩阵，已知 \( |A| = 3 \)，\( |A^T| = 6 \)，求 \( |A^{-1}| \)。
13. 已知函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f'(x) \)。
答案部分：
一、选择题：
1. B 2. C 3. B 4. B 5. A
二、填空题：
6. 1 7. 1/|A| 8. 0 9. -3
三、解答题：
10. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin x}{x^2} = 2 \)
11. \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处取得极大值，极大值为0。
四、应用题：
12. \( |A^{-1}| = \frac{1}{2|A|} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} \)
13. \( f'(x) = 2xe^{x^2} \)
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