在解决考研微分方程应用题时，关键在于灵活运用微分方程的基本原理和技巧。以下是一例微分方程应用题的解题步骤：
题目：已知函数y=f(x)满足微分方程 \( y'' + 4y' = 2e^{2x} \)，且初始条件为 \( y(0) = 1 \) 和 \( y'(0) = 0 \)。求函数y=f(x)的表达式。
解题步骤：
1. 求通解：首先，我们需要找到微分方程的通解。这是一个二阶线性非齐次微分方程，我们可以使用常数变易法或特征方程法来求解。
- 使用特征方程法，设 \( y = e^{rx} \)，代入微分方程得特征方程 \( r^2 + 4r = 0 \)。解得 \( r_1 = 0 \) 和 \( r_2 = -4 \)。
- 因此，齐次方程的通解为 \( y_h = C_1 + C_2e^{-4x} \)。
2. 求特解：接下来，我们需要求非齐次方程的特解。由于非齐次项 \( f(x) = 2e^{2x} \) 的形式，我们可以设特解 \( y_p = A e^{2x} \)。
- 将 \( y_p \) 代入微分方程，得 \( 4A e^{2x} + 8A e^{2x} = 2e^{2x} \)。
- 解得 \( A = \frac{1}{6} \)。
- 因此，特解为 \( y_p = \frac{1}{6}e^{2x} \)。
3. 求通解：将齐次方程的通解和特解相加，得到微分方程的通解为 \( y = C_1 + C_2e^{-4x} + \frac{1}{6}e^{2x} \)。
4. 应用初始条件：根据初始条件 \( y(0) = 1 \) 和 \( y'(0) = 0 \)，我们可以求出常数 \( C_1 \) 和 \( C_2 \)。
- \( y(0) = C_1 + C_2 + \frac{1}{6} = 1 \)，解得 \( C_1 + C_2 = \frac{5}{6} \)。
- \( y'(x) = -4C_2e^{-4x} + \frac{1}{3}e^{2x} \)，代入 \( y'(0) = 0 \) 得 \( -4C_2 + \frac{1}{3} = 0 \)，解得 \( C_2 = \frac{1}{12} \)。
- 将 \( C_2 \) 的值代入 \( C_1 + C_2 = \frac{5}{6} \)，得 \( C_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。
5. 最终解：将 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 的值代入通解，得到函数 \( y = \frac{2}{3} + \frac{1}{12}e^{-4x} + \frac{1}{6}e^{2x} \)。
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