2021年考研数学一真题答案及解析如下：
一、选择题
1. 答案：D
解析：根据函数的连续性和极限的保号性，选择D。
2. 答案：C
解析：通过变量替换和积分技巧，选择C。
3. 答案：B
解析：应用二项式定理和组合数的知识，选择B。
4. 答案：A
解析：利用矩阵的秩和行列式的性质，选择A。
5. 答案：C
解析：结合微分方程的解法和线性方程组，选择C。
二、填空题
6. 答案：e
解析：由泰勒展开和极限的定义得出。
7. 答案：-1
解析：根据级数收敛的必要条件，得出。
8. 答案：π
解析：利用积分和三角函数的性质得出。
9. 答案：2
解析：通过计算矩阵的行列式和特征值得出。
10. 答案：x^2
解析：由导数的定义和函数的微分得出。
三、解答题
11. 解析：首先求出函数的导数，然后利用洛必达法则求极限。
12. 解析：通过变量替换和积分技巧，求解定积分。
13. 解析：利用线性方程组的解法和矩阵的秩，求出未知数。
14. 解析：通过级数的收敛性判断和级数求和公式，得出结论。
15. 解析：利用二重积分的极坐标变换和格林公式，求解面积。
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