2022年考研数学二真题答案及解析如下：
一、选择题
1. 下列选项中，函数$f(x)=\frac{1}{x}$的奇偶性为（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法确定
答案：A
解析：由于$f(-x)=\frac{1}{-x}=-f(x)$，所以函数$f(x)=\frac{1}{x}$是奇函数。
2. 设$a,b$为实数，若$\sqrt{a^2+b^2}=1$，则$a^2+2ab+b^2$的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
答案：A
解析：由$\sqrt{a^2+b^2}=1$，得$a^2+b^2=1$，则$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=2$。
3. 下列函数中，在区间$(0,+\infty)$上单调递减的是（ ）
A. $f(x)=x^2$ B. $f(x)=\ln x$ C. $f(x)=\sqrt{x}$ D. $f(x)=e^x$
答案：B
解析：函数$f(x)=\ln x$在区间$(0,+\infty)$上单调递减。
二、填空题
4. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{x}=3$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}=2$。
解析：根据极限的性质，有$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\sin 3x}{3x}=3$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin 2x}{2x}=2$。
5. 设$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(1)=2$。
解析：对$f(x)=x^3-3x+1$求导得$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=1$得$f'(1)=3-3=0$。
三、解答题
6. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$。
解析：利用洛必达法则，有$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\sec^2 x}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x-2\sec^2 x\tan x}{6x}=\frac{-1-2}{0}=-\infty$。
7. 求函数$f(x)=x^3-3x+1$的极值。
解析：对$f(x)=x^3-3x+1$求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$，此时$f''(x)=6x$，代入$x=1$得$f''(1)=6>0$，所以$x=1$是$f(x)$的极小值点，极小值为$f(1)=-1$。
8. 求函数$f(x)=x^3-3x+1$的拐点。
解析：对$f(x)=x^3-3x+1$求二阶导得$f''(x)=6x$，令$f''(x)=0$得$x=0$，此时$f'''(x)=6$，所以$x=0$是$f(x)$的拐点，拐点为$(0,1)$。
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