在考研数学的征途上，2015年的数二真题无疑是一道重要的里程碑。这一年的题目涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大板块，既考验了考生的基础知识，也考察了灵活运用知识解决问题的能力。以下是2015年数二真题的部分解析及答案：
1. 高等数学：
- 题目：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$的极值。
- 解析：通过求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令其为0，解得$x=1$和$x=\frac{2}{3}$。再通过二阶导数检验，发现$x=1$为极大值点，$x=\frac{2}{3}$为极小值点。
2. 线性代数：
- 题目：设矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求矩阵$A$的特征值和特征向量。
- 解析：计算特征多项式$|A-\lambda I| = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2$，解得$\lambda_1=2$，$\lambda_2=-1$。对应的特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$。
3. 概率论与数理统计：
- 题目：某工厂生产的零件合格率为0.95，现从该工厂生产的零件中随机抽取10个，求其中恰有8个合格的概率。
- 解析：这是一个二项分布问题，使用二项分布公式$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$，其中$n=10$，$k=8$，$p=0.95$，计算得概率约为0.347。
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