在求解二重积分的考研例题中，以下是一个典型的题目：
例题：已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，求二重积分 \( \iint_D f(x, y) \, dA \)，其中 \( D \) 是由直线 \( x + y = 2 \) 和 \( x = 0 \) 所围成的区域。
解题过程：
1. 确定积分区域：首先，我们需要画出积分区域 \( D \)。由题意，区域 \( D \) 是由直线 \( x + y = 2 \) 和 \( x = 0 \) 所围成的三角形区域。
2. 设置积分顺序：由于 \( D \) 是一个简单的三角形区域，我们可以选择先对 \( x \) 积分，再对 \( y \) 积分。
3. 计算定积分：
- 对 \( x \) 的积分限是从 \( x = 0 \) 到 \( x = 2 \)。
- 对 \( y \) 的积分限是从 \( y = 0 \) 到 \( y = 2 - x \)。
因此，二重积分可以表示为：
\[
\iint_D f(x, y) \, dA = \int_0^2 \int_0^{2-x} (x^2 + y^2) \, dy \, dx
\]
4. 计算内层积分：
\[
\int_0^{2-x} (x^2 + y^2) \, dy = x^2 \int_0^{2-x} dy + \int_0^{2-x} y^2 \, dy
\]
\[
= x^2(2-x) + \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{2-x} = 2x^2 - x^3 + \frac{(2-x)^3}{3}
\]
5. 计算外层积分：
\[
\int_0^2 (2x^2 - x^3 + \frac{(2-x)^3}{3}) \, dx
\]
通过逐项积分，可以得到最终结果。
总结：通过上述步骤，我们可以求解出给定区域 \( D \) 上的二重积分。
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