在2020年的考研数学二中，重积分部分考察了考生对多元函数积分的理解和应用能力。以下是一道典型的重积分题目：
题目：已知函数$f(x, y) = x^2y$，其中区域$D$是由直线$x+y=2$和曲线$y=\sqrt{x}$所围成。求二重积分$\iint_D f(x, y) \, dx \, dy$。
解题思路：
1. 确定积分区域$D$的边界，即直线$x+y=2$和曲线$y=\sqrt{x}$。
2. 根据边界，确定积分的顺序，这里先对$y$积分，再对$x$积分。
3. 分别计算两个积分。
解题步骤：
1. 积分区域$D$在$y$轴的投影为$[0, 2]$。
2. 对于$y$的每一个值，$x$的取值范围为$[0, 2-y]$。
3. 因此，二重积分可表示为：
$$\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \int_0^2 \int_0^{2-y} x^2y \, dx \, dy$$
4. 先对$x$积分：
$$\int_0^{2-y} x^2y \, dx = y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{2-y} = \frac{y(2-y)^3}{3}$$
5. 再对$y$积分：
$$\int_0^2 \frac{y(2-y)^3}{3} \, dy = \frac{1}{3} \int_0^2 y(2-y)^3 \, dy$$
这部分积分可以通过换元法或者分部积分法求解。
最终，计算出$\iint_D f(x, y) \, dx \, dy$的值。
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