在考研数学中，矩阵大题通常考查矩阵的运算、行列式的计算、矩阵的逆以及矩阵的秩等知识点。以下是一道典型的矩阵大题：
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求：
（1）矩阵 \(A\) 的行列式 \(|A|\)；
（2）矩阵 \(A\) 的逆矩阵 \(A^{-1}\)；
（3）矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答：
（1）计算行列式 \(|A|\)：
\[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \]
（2）求逆矩阵 \(A^{-1}\)：
由于 \(|A| = -2 \neq 0\)，矩阵 \(A\) 可逆。根据公式 \(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)\)，其中 \(\text{adj}(A)\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，我们有：
\[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \]
因此，
\[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]
（3）求特征值和特征向量：
设 \(A\) 的特征值为 \(\lambda\)，则有：
\[ \text{det}(\lambda I - A) = 0 \]
即
\[ \text{det}\left(\begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 \\ -3 & \lambda - 4 \end{bmatrix}\right) = 0 \]
解得 \(\lambda_1 = 5\)，\(\lambda_2 = -1\)。
对于 \(\lambda_1 = 5\)，解方程组 \((5I - A)\vec{x} = 0\)，得到特征向量 \(\vec{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)；
对于 \(\lambda_2 = -1\)，解方程组 \((-I - A)\vec{x} = 0\)，得到特征向量 \(\vec{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\)。
综上所述，本题答案为：
（1）行列式 \(|A| = -2\)；
（2）逆矩阵 \(A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\)；
（3）特征值 \(\lambda_1 = 5\)，\(\lambda_2 = -1\)，特征向量分别为 \(\vec{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)，\(\vec{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\)。
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