在深入探究无穷级数这一考研热门主题时，考生们常会遇见一系列令人深思的真题。以下是对无穷级数考研真题的原创解析：
1. 题干：已知级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛？
解答：根据p级数收敛定理，当p>1时，\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) 收敛。此处p=2>1，因此级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛。
2. 题干：求级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}\) 的和。
解答：通过比值审敛法，可得 \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2+1+2n+1} = 0\)，说明级数收敛。利用错位相减法，可得级数的和为1。
3. 题干：已知级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) 是否收敛？
解答：通过莱布尼茨判别法，由于 \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) 是单调递减的且趋于0，所以级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) 收敛。
4. 题干：求级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{n!}\) 的和。
解答：通过泰勒级数展开，\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\)，代入x=1，得级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{n!}\) 的和为 \(e-1\)。
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