2013年考研数三真题及答案详解如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数 $f(x)=\frac{1}{x}$，则 $f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$。
2. 设 $f(x)=x^3-3x+2$，则 $f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x+2)=3x^2-3$。
3. 若 $a+b=2$，$ab=1$，则 $a^2+b^2$ 的值为多少？
解：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2^2-2\times1=4-2=2$。
4. 设 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$，则 $AB$ 的值为多少？
解：$AB=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8 \\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19 & 26 \\ 43 & 58\end{bmatrix}$。
5. 设 $f(x)=\ln x$，则 $f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$。
二、填空题（每题5分，共20分）
1. $e^{\ln 2}=2$。
2. $\int_0^1 x^2 dx=\frac{1}{3}$。
3. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
4. $\int_0^{\pi/2}\sin x dx=1$。
三、解答题（共50分）
1. 求函数 $f(x)=x^3-3x+2$ 的极值。
解：$f'(x)=3x^2-3$，令 $f'(x)=0$，得 $x=\pm1$。
当 $x<-1$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；当 $-11$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。
因此，$f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值 $f(-1)=4$，在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=0$。
2. 求极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。
解：由洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$。
3. 求定积分 $\int_0^{\pi/2}\sin x dx$。
解：$\int_0^{\pi/2}\sin x dx=-\cos x\big|_0^{\pi/2}=-\cos(\pi/2)+\cos 0=1+1=2$。
4. 求解线性方程组 $\begin{cases}x+y+z=1 \\ 2x-3y+4z=2 \\ 3x+y-2z=0\end{cases}$。
解：$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & 1 & -2\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & 2 \\ 0 & -2 & -5\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，
所以 $x=1$，$y=-\frac{2}{5}$，$z=1$。
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