在考研数学中，中值定理的应用题通常涉及以下几个关键步骤：
1. 确定函数：首先，选择一个满足中值定理适用条件的函数，通常要求函数在闭区间上连续，在开区间内可导。
2. 应用定理：根据罗尔定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理，分析函数在区间两端的函数值，寻找满足定理条件的点。
3. 求导并解方程：对函数求导，然后根据定理找到的中值点，解导数等于零的方程。
4. 计算结果：将求得的导数等于零的点代入原函数，计算函数值，或者进一步计算题目要求的其他量。
以下是一个典型的中值定理考研题目示例：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在区间$[0,2]$上连续，在$(0,2)$内可导，证明存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$。
解答：
1. 确定函数：函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在闭区间$[0,2]$上连续，在开区间$(0,2)$内可导。
2. 应用定理：根据拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$。
3. 求导并解方程：$f'(x) = 3x^2 - 3$，则$f'(\xi) = 3\xi^2 - 3$。
4. 计算结果：解方程$3\xi^2 - 3 = \frac{f(2) - f(0)}{2}$，计算得到$\xi$的值。
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