在1990年的考研数学中，中值定理的考察主要围绕拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用。考生需熟练掌握定理的表述，并能灵活运用到具体的函数求导和极限计算问题中。例如，通过构造适当的函数，应用中值定理证明函数的连续性或可导性，或者求解函数的特定值。以下是一例题目：
题目：证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 在区间 \([0, 2]\) 上至少存在一点 \( \xi \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
解答：设 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，则 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。由罗尔定理知，若函数在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \( f(a) = f(b) \)，则在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \( \xi \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
对于函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，我们有 \( f(0) = 1 \) 和 \( f(2) = 5 \)，显然 \( f(0) \neq f(2) \)。因此，罗尔定理不适用，但我们可以通过拉格朗日中值定理来解决这个问题。
由拉格朗日中值定理知，存在 \( \xi \in (0, 2) \)，使得
\[ f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]
但这并不满足 \( f'(\xi) = 0 \) 的条件。因此，我们需要找到一个新的方法。考虑到 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，我们可以通过解方程 \( 3x^2 - 3 = 0 \) 来找到 \( f'(\xi) = 0 \) 的点。
解得 \( x = \pm 1 \)。由于 \( \xi \in (0, 2) \)，因此 \( \xi = 1 \) 满足条件。所以，存在 \( \xi = 1 \) 使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
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