2021年考研数学一真题答案如下：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$。
2. 若$A$为$n$阶方阵，且$A^2=0$，则$A$的秩$r(A)$为：
A. 0
B. 1
C. $n-1$
D. $n$
答案：C
3. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$。
4. 若$a+b=0$，$a^2+b^2=2$，则$a^3+b^3$的值为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. -2
答案：A
5. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+4x-1)=3x^2-6x+4$。
二、填空题（每题5分，共25分）
6. $\int x^2e^x\,dx=\frac{x^2e^x}{2}-\int \frac{e^x}{2}\,dx=\frac{x^2e^x}{2}-\frac{e^x}{2}+C$。
7. 设$f(x)=\ln x$，则$f''(x)=\frac{d^2}{dx^2}(\ln x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$。
8. 设$a$，$b$，$c$是等差数列的三个相邻项，则$a^2+b^2+c^2=3ab$。
9. 设$f(x)=\sin x$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$。
10. 设$f(x)=e^x$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$。
三、解答题（共50分）
11.（10分）设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的极值。
解：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。
当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$；当$\frac{2}{3}
所以$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$处取得极大值$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{27}$，在$x=1$处取得极小值$f(1)=1$。
12.（10分）设$a$，$b$，$c$是等差数列的三个相邻项，求证：$a^2+b^2+c^2=3ab$。
证明：由等差数列的性质，$a+b=2c$，$a+c=2b$。
将$a+b=2c$代入$a^2+b^2+c^2$中，得$(a+b)^2+c^2=4c^2+c^2=5c^2$。
将$a+c=2b$代入$5c^2$中，得$5c^2=5(a+c)^2=5(2b)^2=20b^2$。
所以$a^2+b^2+c^2=20b^2=3ab$。
13.（10分）设$f(x)=\sin x$，求$f(x)$在区间$[0,2\pi]$上的最大值和最小值。
解：$f'(x)=\cos x$，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{\pi}{2}$或$x=\frac{3\pi}{2}$。
当$x<\frac{\pi}{2}$时，$f'(x)>0$；当$\frac{\pi}{2}
所以$f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处取得最大值$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$，在$x=\frac{3\pi}{2}$处取得最小值$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$。
14.（10分）设$f(x)=e^x$，求$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的最大值和最小值。
解：$f'(x)=e^x>0$，所以$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增。
所以$f(x)$在$x=0$处取得最小值$f(0)=1$，在$x=+\infty$处取得最大值$f(+\infty)=+\infty$。
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