2019年考研数学三第19题是一道关于线性代数的题目，具体涉及矩阵的特征值和特征向量的计算。下面是对该题的详细讲解：
题目解析：
给定一个矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和对应的特征向量。
解题步骤：
1. 首先计算特征值，即解特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
2. 解得特征多项式后，计算其根即为矩阵的特征值。
3. 对每个特征值 \( \lambda \)，解方程组 \( (A - \lambda I)x = 0 \)，得到对应的特征向量。
具体计算如下：
1. 特征多项式为 \( \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 3-\lambda & 2 \\ 1 & 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} \)。
2. 展开行列式，解得特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \)。
3. 分别代入 \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) 到 \( (A - \lambda I)x = 0 \) 中，求解得到对应的特征向量。
通过以上步骤，我们可以得到2019年考研数学三第19题的答案。
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