2015年考研数学第一题主要考察了线性代数中的矩阵基本性质。题目内容如下：
设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \)。
解题步骤如下：
1. 计算行列式 \( \det(A) \)：首先计算矩阵 \( A \) 的行列式，即 \( \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \)。
2. 求代数余子式矩阵 \( A^* \)：对于矩阵 \( A \) 的每个元素，计算其代数余子式。例如，\( A_{11} \) 是 \( A \) 中第1行第1列元素的余子式，而 \( A_{11} \) 的计算方法是将 \( A \) 中的第1行和第1列删除，计算剩下元素的行列式，然后根据其在原矩阵中的位置（正负交替）乘以相应的符号。
计算得到：
\[
A^* = \begin{bmatrix}
(-1)^{1+1} \cdot \det(A_{11}) & (-1)^{1+2} \cdot \det(A_{12}) \\
(-1)^{2+1} \cdot \det(A_{21}) & (-1)^{2+2} \cdot \det(A_{22})
\end{bmatrix}
\]
其中，\( A_{11} \) 和 \( A_{22} \) 是 \( A \) 中删除第1行第1列和第2行第2列后的行列式，\( A_{12} \) 和 \( A_{21} \) 类似。
3. 计算 \( A^* \)：根据上述步骤，计算每个代数余子式，然后构造 \( A^* \)。
最终，我们得到伴随矩阵 \( A^* \)。
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