2021年考研数学一试题讲解如下：
一、选择题
1. 试题解析：本题考查函数的极限。首先，我们观察到当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0，形成“0/0”型未定式。接着，我们可以利用洛必达法则求解极限。求导后，分子为1，分母为2x，再次求导后，分子为0，分母为2，因此极限为0。
2. 试题解析：本题考查二阶线性常系数齐次微分方程的通解。首先，我们写出特征方程：r^2 - 4r + 3 = 0。解得r1 = 1，r2 = 3。因此，通解为y = C1e^x + C2e^(3x)。
3. 试题解析：本题考查定积分的计算。首先，我们可以利用积分技巧：换元积分法。令u = x^2，则du = 2x dx。将原积分转化为∫(1/2)u^(-1/2) du。接着，我们可以利用积分公式求解：∫u^(-1/2) du = 2u^(1/2) + C。将u = x^2代入，得到∫(1/2)u^(-1/2) du = x + C。
二、填空题
1. 试题解析：本题考查行列式的计算。根据行列式的性质，我们可以将第一列展开，得到2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2。
2. 试题解析：本题考查级数的收敛性。根据级数的收敛判别法，我们可以利用比值判别法：lim (an+1 / an) = lim (n+1) / n = 1。因此，级数收敛。
三、解答题
1. 试题解析：本题考查一元二次方程的解法。首先，我们可以利用配方法将方程转化为(x - a)^2 = b。接着，我们可以得到两个解：x1 = a + √b，x2 = a - √b。
2. 试题解析：本题考查多元函数的极值问题。首先，我们需要求出函数的偏导数：f_x = 3x^2 - 4xy + 2y^2，f_y = -4x^2 + 4xy + 4y^2。接着，我们令偏导数等于0，得到方程组：3x^2 - 4xy + 2y^2 = 0，-4x^2 + 4xy + 4y^2 = 0。解得x = y = 0或x = y = ±√2。最后，我们需要判断这些点是否为极值点，通过计算二阶偏导数或利用拉格朗日乘数法等方法，可以得出x = y = 0为极小值点，x = y = ±√2为极大值点。
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