2015年考研数学一第15题主要考察了线性代数中的矩阵运算和特征值、特征向量的应用。题目如下：
设矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答思路：
1. 求解特征值：设矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda\)，则有 \(\det(A - \lambda I) = 0\)。
2. 求解特征向量：对于每个特征值 \(\lambda\)，求解线性方程组 \((A - \lambda I)x = 0\)，得到对应的特征向量。
具体步骤如下：
1. 求解特征值：
\[
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
\]
解得 \(\lambda_1 = -1\)，\(\lambda_2 = 2\)。
2. 求解特征向量：
- 当 \(\lambda_1 = -1\) 时，解线性方程组 \((A - \lambda_1 I)x = 0\)，即 \(\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}x = 0\)。得到特征向量 \(x_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
- 当 \(\lambda_2 = 2\) 时，解线性方程组 \((A - \lambda_2 I)x = 0\)，即 \(\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}x = 0\)。得到特征向量 \(x_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
综上，矩阵 \(A\) 的特征值为 \(-1\) 和 \(2\)，对应的特征向量分别为 \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
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