19年考研数学三卷19题讲解

19年考研数学三卷19题是一道典型的数列极限问题。解题思路如下：

题目：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，求$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$。

解答：
首先，我们观察数列的递推公式$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，可以发现$a_n$始终大于0。接下来，我们考虑数列的单调性。

由于$a_n>0$，所以$1+a_n>1$，从而$\frac{1}{1+a_n}<1$。因此，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}

接下来，我们证明数列$\{a_n\}$是有界的。由于$a_n>0$，所以$a_n$的下界为0。又因为$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}<1$，所以数列$\{a_n\}$的上界为1。

由单调有界定理，数列$\{a_n\}$必定收敛。设$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$，则根据递推公式，我们有
$$
a=\frac{a}{1+a}
$$
解得$a=0$或$a=1$。由于数列$\{a_n\}$是单调递减的，且$a_n>0$，所以$a$只能取0。

因此，$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$。

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