2012年考研数二证明题

2012年考研数二证明题：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，证明存在唯一的实数$a$，使得$f(a)=0$。

解题过程如下：

1. 首先，观察函数$f(x)$的图像，可以发现当$x$从负无穷大到正无穷大时，$f(x)$的值从负无穷大到正无穷大，因此存在至少一个实数$x_0$，使得$f(x_0)=0$。

2. 接下来，证明这个实数$x_0$是唯一的。设$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则有
$$f'(x_0)=3x_0^2-6x_0+4.$$
由于$f(x)$在$x_0$处的导数$f'(x_0)$不为0，所以$f(x)$在$x_0$处是连续的，且在$x_0$的左右两侧存在$f(x)$的值异号，即存在$x_1

3. 由罗尔定理可知，存在$\xi\in(x_1,x_0)$和$\eta\in(x_0,x_2)$，使得$f'(\xi)=0$和$f'(\eta)=0$。由于$f'(x)$是二次函数，所以$f'(x)=0$的解是唯一的，即$\xi=\eta$。

4. 综上所述，存在唯一的实数$a=\xi=\eta$，使得$f(a)=0$。

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