在深入解析二元函数考研真题时，考生需重点关注函数的极限、偏导数、二阶偏导数、连续性以及可微性等核心概念。例如，一道典型的二元函数考研真题可能如下：
真题示例： 设函数 \( f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \) 在点 \( (0,0) \) 处的偏导数和连续性如何？
解答思路：
1. 连续性分析： 首先检查 \( f(x, y) \) 在 \( (0,0) \) 处的连续性。由于 \( f(x, y) \) 在 \( x^2 + y^2 \neq 0 \) 时有定义，我们需要计算当 \( (x, y) \) 趋向于 \( (0,0) \) 时 \( f(x, y) \) 的极限。
2. 偏导数计算： 分别计算 \( f_x' \) 和 \( f_y' \) 在 \( (0,0) \) 处的值。这通常涉及使用定义法或求导法则。
3. 可微性判断： 根据二阶偏导数 \( f_{xx}'' \)、\( f_{yy}'' \) 和 \( f_{xy}'' \) 的存在性，判断函数在 \( (0,0) \) 处是否可微。
答案：
通过计算，我们发现 \( f(x, y) \) 在 \( (0,0) \) 处连续，且 \( f_x' \) 和 \( f_y' \) 在该点存在。进一步分析可得，\( f(x, y) \) 在 \( (0,0) \) 处可微。
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